கலப்பு எண்ணை இயற்கை சக்தியாக உயர்த்துதல்

இந்த வெளியீட்டில், ஒரு கலப்பு எண்ணை எவ்வாறு சக்தியாக உயர்த்தலாம் (De Moivre சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது உட்பட) என்பதை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். தத்துவார்த்த பொருள் சிறந்த புரிதலுக்கான எடுத்துக்காட்டுகளுடன் உள்ளது.

கலப்பு எண்ணை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துதல்

முதலில், ஒரு கலப்பு எண் பொதுவான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்: z = a + bi (இயற்கணித வடிவம்).

இப்போது நாம் பிரச்சினையின் தீர்வுக்கு நேரடியாக செல்லலாம்.

சதுர எண்

அதே காரணிகளின் விளைபொருளாக பட்டத்தை நாம் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தலாம், பின்னர் அவற்றின் தயாரிப்பைக் கண்டறியலாம் (அதை நினைவில் வைத்துக் கொள்ளும்போது i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi)(a + bi)

எடுத்துக்காட்டாக 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

நீங்கள் தொகையின் சதுரத்தையும் பயன்படுத்தலாம்:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2அபி - பி²

குறிப்பு: அதே வழியில், தேவைப்பட்டால், வேறுபாட்டின் வர்க்கத்திற்கான சூத்திரங்கள், கூட்டுத்தொகை / வேறுபாட்டின் கன சதுரம் போன்றவற்றைப் பெறலாம்.

Nவது பட்டம்

கலப்பு எண்ணை உயர்த்தவும் z வகையான n இது முக்கோணவியல் வடிவத்தில் குறிப்பிடப்பட்டால் மிகவும் எளிதானது.

பொதுவாக, ஒரு எண்ணின் குறியீடானது இப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

விரிவாக்கத்திற்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் டி மோவ்ரேயின் சூத்திரம் (ஆங்கில கணிதவியலாளரான ஆபிரகாம் டி மொய்வ்ரேயின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

முக்கோணவியல் வடிவத்தில் எழுதுவதன் மூலம் சூத்திரம் பெறப்படுகிறது (தொகுதிகள் பெருக்கப்படுகின்றன, மேலும் வாதங்கள் சேர்க்கப்படுகின்றன).

எடுத்துக்காட்டாக 2

கலப்பு எண்ணை உயர்த்தவும் z = 2 ⋅ (காஸ் 35° + i ⋅ பாவம் 35°) எட்டாவது பட்டம் வரை.

தீர்வு

z⁸ = 2⁸ ⋅ (காஸ்(8 ⋅ 35°) + i ⋅ பாவம்(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (280° + i sin 280°).